Поисковые подсказки появляются под адресной строкой или под полем поиска при написании в них нескольких начальных букв любого запроса. Отключить поисковые подсказки в Яндексе можно в настройках браузера, а настройках аккаунта Яндекса можно отключить пользовательские подсказки.
Отключить пользовательские подсказки
Чтобы убрать подсказки в поисковике Яндекс которые отображают ваши последние запросы нужно зайти в свой аккаунт Яндекса.

Затем можно сразу открыть страницу по адресу http://tune.yandex.ru/suggest или открыть сначала страницу Яндекса www.yandex.ru и на ней открыть Настройки — Настройки портала.

На открывшейся странице нужно будет снять галочки с обоих пунктов и нажать кнопку Сохранить. После этого у вас не будут отображаться в первых рядах подсказки в виде сайтов которые вы посещали в последнее время и какие вы делали запросы.
Отключить все подсказки
Чтобы полностью поисковые подсказки Яндекс удалить нужно будет открыть настройки браузера нажав на три параллельные линии находящиеся в правой верхней части браузера. В настройках нужно будет нажать Показать дополнительные настройки.

В дополнительных настройках нужно будет сначала найти абзац Личные данные в котором нужно снять галочку с пункта Использовать поисковые подсказки.

Затем найти абзац под названием Веб-содержимое и в нём снять галочки с пунктов Показывать обучающие подсказки, Отображать поисковые запросы в умной строке с результатами поиска.